Question

【题目】已知棱长为的正方体中，分别为棱和的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证法一：连结交于点，利用平几知识证四边形为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结果；证法二：取中点，利用平几知识证∥，再根据线面平行判定定理得结果；

（2））解法一与解法二，利用等体积法求点到直线距离.

（1）证法一：如图连结交于点，则点为的中点，连结，

∵为的中点，∴为的中位线，∴∥，

∵为的中点，∴∥，，∴四边形为平行四边形

∴∥，∵平面，平面

∴∥平面.

证法二：如图取中点，连接，，因为正方体，

分别为中点，所以可得四边形和四边形均为平行四边

形，所以∥∥，所以平面即为平行四边形所在平面，因为

为的中点，所以也为中点，且为中点，所以∥，∴∥平面.

（2）解法一：延长到点，使得，连结，则∥平面，

则到平面的距离即到平面的距离，，点到平面的距

离为，，

设到平面的距离为，则，即

可得，即点到平面的距离为

解法二：由证法二知点到平面的距离为到平面的距离，所以，

且，，所以到平面的距离为.