Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）

A.平面

B.该三棱柱的外接球的表面积为

C.异面直线与所成角的正切值为

D.二面角的余弦值为

Answer 1

【答案】AD

【解析】

由平行线分线段成比例可知，可判断A；由题意知直三棱柱是长方体沿对角面切开的一半，故外接球为长方体外接球，球心在中点，即可判断B；，所以异面直线与所成角为，求解即可判断C；以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可判断D.

在直三棱柱中，四边形是矩形，

因为，所以，不在平面内，平面，

所以平面，A项正确；

因为，所以，

因为，所以，所以，

易知是三棱柱外接球的直径，

所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；

因为，所以异面直线与所成角为．

在中，，，

所以，所以C项错误；

二面角即二面角，

以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图

则，

,,,

设平面的法向量，

则，即，令可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，令可得

故二面角的余弦值为，所以D项正确．

故选：AD