Question

【题目】如图所示，正方形边长为，将沿翻折到的位置，使得二面角的大小为.

（1）证明：平面平面；

（2）点在直线上，且直线与平面所成角正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据已知可得，证明得平面，即可证明结论；

（2）由（1）得即为二面角的平面角，即，建立如下图直角坐标系，得出坐标，设，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出，确定坐标，分别求出平面和平面法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解.

（1）证明：设交于点，连接，即为中点，

又因为，所以，因为，所以

由于平面，平面，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（2）因为，

所以即为二面角的平面角，即，

得，由，

以点为原点建立如图空间直角坐标系，

则，，，，

设，

所以

平面的一个法向量可为，

因为直线与平面所成角正弦值为

所以，

解得，所以，，

设平面的法向量为，则，

即，令，得，

因为，

设平面的法向量为，则，

即，令，得，

所以，

即二面角的余弦值为.