Question

【题目】如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若E是侧棱上的一点，且与底面所成的是为45°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理得的长，利用勾股定理，证得，再由底面，得到，从而证得平面，进而得到平面平面.

（Ⅱ）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据向量的夹角公式，求得，得到，进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（Ⅰ）在平行四边形中，，，，

由余弦定理得，

可得，所以，即，

又底面，底面，所以，

又 所以平面，

又平面，所以平面平面.

（Ⅱ）如图所示，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设，，

因为，，

又因为，所以，

又由平面的一个法向量为，

所以，

解得，即，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，，

因为，，可得，取，得，

同理可得 ，

由，

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.