题目内容

如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立关系式：
（i）设∠OAB=α，将y表示为α的函数；
（ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．
分析：（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由∠AOH=
π
2
-α，∠BOH=π-
π
4
-(
π
2
-α)=
π
4
+α及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，BH=10tan(
π
4
+α)，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面积原理得，
1
2
•AB•10=
1
2
mnsin
3π
4
可求AB
（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值
选择方案二：由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos
3π
4
=m2+n2+
2
mn≥(2+
2
)mn，结合基本不等式可求AB的最小值
解答：解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H
由题意得，∠AOH=
π
2
-α，∠BOH=π-
π
4
-(
π
2
-α)=
π
4
+α
且0＜α＜
π
2
tan∠AOH=cotα=
AH
10

即AH=10cotα…（2分）
tan∠BOH=tan(
π
4
+α)=
BH
10
即BH=10tan(
π
4
+α)…（4分）
∴AB=BH+AH=10tan(
π
4
+α)+10cotα=10(
cosα
sinα
+
sinα+cosα
cosα-sinα
)=
20
2
sin(2α+
π
4
)-1
…（8分）
（ii） 由等面积原理得，
1
2
•AB•10=
1
2
mnsin
3π
4
即AB=
mn
10
2
…（10分）
（2）选择方案一：当α=
π
8
时|AB|min=20(
2
+1)，…（12分）
此时OA=OB=
10
sin
π
8
，而cos
π
4
=1-2sin2
π
8
=
2
2

所以OA=OB=10
4+2
2
．                         …（14分）
选择方案二：因为tan∠AOB=
3π
4
，
由余弦定理得AB2=m2+n2-2mncos
3π
4
=m2+n2+
2
mn≥(2+
2
)mn
∴AB2≥20(
2
+1)AB…（12分）
即AB≥20(
2
+1)（当且仅当m=n=10
4+2
2
时取等号）…（14分）
点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题
练习册系列答案
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如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当m=
6
+
2
2
时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

 
如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修建一条铁路L，L在AO上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10千米，问把A、B分别设在公路中心O多远处才能使|AB|最短，并求其最短距离.

如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
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（ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．

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