Question

如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m²a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当m=

6 + 2

2

时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

Answer 1

分析：（1）由题意可得AB=rtanθ，AC=rtan(

3π

4

-θ)，可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：(

π

4

，

π

2

)；
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，可化为y=ar[m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

+m2+1]，由基本不等式可得m2(tanθ-1)+

2

1-tanθ

≥2

2

m，由取等号的条件可得答案．

解答：解：（1）∵BC与圆O相切于A，∴OA⊥BC，在△OAB中，AB=rtanθ，…（2分）
同理，可得AC=rtan(

3π

4

-θ)…（4分）
∴y=m2aAB+aAC=m2artanθ+artan(

3π

4

-θ)，
∴y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]，…（6分）
可得函数的定义域为：(

π

4

，

π

2

)…（8分）
（2）由（1）可得y=ar[m2tanθ+tan(

3π

4

-θ)]
=ar[m2tanθ+

-1-tanθ

1-tanθ

]
=ar[m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

+m2+1]
∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴tanθ-1＞0，
∴m2(tanθ-1)+

2

tanθ-1

≥2

2

m，
当且仅当m2(tanθ-1)=

2

tanθ-1

，即tanθ=

2

m

-1时取等号，
又m=

6 + 2

2

，所以tanθ=

3

，∴θ=60°
故当θ取60°，即A点在O东偏南60°的方向上，总造价最低．     …（16分）

点评：本题考查函数的定义域及其求法，涉及基本不等式的应用，属中档题．