Question

如图，某城市设立以城中心为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心正东方向上有一条高速公路、西南方向上有一条一级公路，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆相切的直道．已知通往一级公路的道路每公里造价为万元，通往高速公路的道路每公里造价是万元，其中为常数，设，总造价为万元．

（1）把表示成的函数，并求出定义域；

（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

 

Answer 1

【答案】

（1），定义域为： ，（2）当取，即A点在O东偏南的方向上，总造价最低．     16分

【解析】

试题分析：（1）∵与圆O相切于A，

∴OA⊥，在中，，             2分

同理，                                  4分

∴，

∴，          6分

定义域为：                                8分

（2）

           11分

∵，∴，

∴                13分

当且仅当时取等号，即，

又∵，∴，∴        15分

答：当取，即A点在O东偏南的方向上，总造价最低．     16分

考点：本题考查了三角函数的实际运用

点评：对于三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。对于实际问题也是转化为三角形内的三角函数问题进一步去求解