题目内容
如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．（1）按下列要求建立关系式：
（i）设∠OAB=α，将y表示为α的函数；
（ii）设OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短，并求出最短距离．
【答案】分析：（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由
及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，
，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面积原理得，
可求AB
（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值
选择方案二：由余弦定理得
=
，结合基本不等式可求AB的最小值
解答：解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H
由题意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即
…（4分）
∴
=
=
…（8分）
（ii） 由等面积原理得，
即
…（10分）
（2）选择方案一：当
时
，…（12分）
此时
，而
所以
． …（14分）
选择方案二：因为
，
由余弦定理得
=
∴
…（12分）
即
（当且仅当
时取等号）…（14分）
点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题
及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可（ii） 由等面积原理得，
可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值
选择方案二：由余弦定理得
=，结合基本不等式可求AB的最小值解答：解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H
由题意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即…（4分）∴
==…（8分）（ii） 由等面积原理得，
即…（10分）（2）选择方案一：当
时，…（12分）此时
，而所以
． …（14分）选择方案二：因为
，由余弦定理得
=∴
…（12分）即
（当且仅当时取等号）…（14分）点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题
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如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
为圆心、
公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心
、西南方向上有一条一级公路
，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆
．已知通往一级公路的道路
每公里造价为
万元，通往高速公路的道路
每公里造价是
万元，其中
为常数，设
，总造价为
万元．
的函数
，并求出定义域；
时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？