题目内容
如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修建一条铁路L，L在AO上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10千米，问把A、B分别设在公路中心O多远处才能使|AB|最短，并求其最短距离.
解:设AO=a,OB=b.
∵AO在正西方向,OB在东北方向,
∴∠AOB=135°,|AB|2=a2+b2+
ab≥(2+
)ab,(当且仅当a=b时,等号成立)
又O到AB的距离为10,设∠OAB=α,
则∠OBA=45°-α.
∴a=
,b=
,
ab=
=
≥
,
(α=22°30′,且α≠b时,等号成立).
∴|AB|2≥
=400(
+1)2,
因此当a=b=
=10
时,|AB|最小,其最短距离为20(
+1)千米.
练习册系列答案
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某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短？并求其最短距离．
如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB，现要修一条地铁L，在OA上设一站，在OB上设一站，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，设地铁在AB部分的总长度为ykm．
问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.