Question

已知f（x）=e^x+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，e^x＞x²；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）-e^x+

1

3

x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：本题（Ⅰ）根据导函数求出切线的斜率，再利用垂直关系得到斜率间的关系，从而求出参数a的值，由导函数值 的正负判断出函数的单调区间；（Ⅱ）将原不等式转化成一个函数值为正的问题，通过导函数研究出函数的单调性，得到函数的最小值为正，得到本题结论；（Ⅲ）根据函数单调递减的特征，得到导函数满足的条件，从而求出实数m的取值范围，得到本题结论．

解答： 解（Ⅰ）由题意知，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为-1．
由f（x）=e^x+2ax，得f'（x）=e^x+2a，
∴f'（0）=1+2a=-1，
得a=-1
∴f（x）=e^x-2x，f'（x）=e^x-2
令f'（x）=0，得x=ln2
当x＜ln2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）的单调递增区间为（ln2，+∞），单调递减区间为（-∞，ln2）．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，则g'（x）=e^x-2x
由（Ⅰ）知，f（x）的极小值即最小值[f（x）]_min=f（ln2）=2-2ln2＞0，
∴g'（x）=f（x）＞0，
故g（x）在R上单调递增，因此，当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞x²．
（Ⅲ）由题意知，F(x)=

1

3

x3+mx2-2x+1，
∵F（x）在（1，3）上单调递减，
∴F'（x）=x²+2mx-2≤0在（1，3）恒成立，
∴F′（x）图象过点（0，-2），
∴

F′(1)=1+2m-2≤0 F(3)=9+6m-2≤0

，
m≤-

7

6

，
所以满足实数m的取值范围为（-∞，-

7

6

）．

点评：本题考查了导函数与函数单调性、最值之间的关系，本题难度适中，属于中档题．