Question

关于二项式（x-1）²³有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中第六项为

C

6 23

x⁶；
③该二项展开式中系数最大的项是第13项；
④当x=24时，（x-1）²³除以24的余数是23．
其中正确命题有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,二项式系数的性质

专题：简易逻辑,二项式定理

分析：利用赋值求出各项系数和，判断出命题①正确；利用二项展开式的通项公式求出第5项，判断出命题②错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题③正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题④正确．

解答： 解：对于①，此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为

C

23 23

(-1)23=-1，故①正确；
对于②，其第6项T₆=C₂₃⁵x^23-5•（-1）⁵=-C₂₃⁵x¹⁸，故②不正确；
对于③，该二项展开式共有2010项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第12项与13项系数的绝对值最大，奇数项为正，故③正确；
对于④，（x-1）²³=（x²³-C₂₃¹x²²+C₂₃²x²¹-…+C₂₃²³x）-1=（x²³-C₂₃¹x²²+C₂₃²x²¹-…+C₂₃²²-1）x+x-1．当x=24时，被24除的余数为24-1=23．故④正确．
正确命题：①③④．
故选：C．

点评：本题考查求展开式的系数和的方法是赋值法；考查二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题；考查展开式的二项式系数的性质；考查二项式定理．