Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），圆C的方程为x²+y²-4x-2y+4=0．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求l的普通方程与C的极坐标方程；
（2）已知l与C交于P，Q，求|PQ|．

Answer 1

分析 （1）圆C的方程为x²+y²-4x-2y+4=0．曲线C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，化简得：曲线C的极坐标方程．
（2）将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程，得t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，利用|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）圆C的方程为x²+y²-4x-2y+4=0．
曲线C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，化简得：曲线C的极坐标方程为：ρ²-4ρcosθ-2sinθ+4=0．
（2）将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），代入曲线C的方程，得t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．