Question

8．将圆$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，得到曲线C．
（1）求出C的普通方程；
（2）设直线l：x+2y-2=0与C的交点为P₁，P₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）求出C的参数方程，即可求出C的普通方程；
（2）求出P₁（2，0），P₂（0，1），则线段P₁P₂的中点坐标为$（1，\frac{1}{2}）$，所求直线的斜率k=2，可得直线方程，即可求出极坐标方程．

解答 解：（1）设（x₁，y₁）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点（x，y），
则有 $\left\{{\begin{array}{l}{x={x_1}}\\{y=\frac{1}{2}{y_1}}\end{array}}\right.$，
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=2cosθ}\\{{y_1}=2sinθ}\end{array}}\right.（θ为参数）∴\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.（θ为参数）$，∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{x+2y-2=0}\end{array}}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}}\right.$，
所以P₁（2，0），P₂（0，1），则线段P₁P₂的中点坐标为$（1，\frac{1}{2}）$，所求直线的斜率k=2，
于是所求直线方程为$y-\frac{1}{2}=2（x-1），即4x-2y-3=0$．
化为极坐标方程得：4ρcosθ-2ρsinθ-3=0，即$ρ=\frac{3}{4cosθ-2sinθ}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查坐标变换，考查学生的计算能力，属于中档题．