Question

已知抛物线C：y＝2x²，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k使＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

1)证明　

如图，设A(x_1,2x)，B(x₂，2x)，把y＝kx＋2代入y＝2x²得2x²－kx－2＝0，

由韦达定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－1，

将y＝2x²代入上式得2x²－mx＋－＝0，

∵直线l与抛物线C相切，

∴Δ＝m²－8∴Δ＝m²－8＝m²－2mk＋k²

＝m²－2mk＋k²

＝(m－k)²＝0，∴m＝k.

即l∥AB.

(2)假设存在实数k，使＝0，

则NA⊥NB，

又∵M是AB的中点，∴MN＝AB.

由(1)知y_M＝(y₁＋y₂)

＝(kx₁＋2＋kx₂＋2)

＝[k(x₁＋x₂)＋4]

解得k＝±2.使＝0.