题目内容
10．已知曲线C的极坐标方程是p-2cosθ+2sinθ=0，以极点为平顶直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（r为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．
分析 （1）对极坐标两边同乘ρ得到直角坐标方程，将参数方程两式相减消去参数得到普通方程；
（2）把直线参数方程代入曲线普通方程，利用参数的几何意义和根与系数得关系解出|AB|．
解答 解：（1）∵p-2cosθ+2sinθ=0，∴ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ=0．
∴曲线C的直角坐标方程是x2+y2-2x+2y=0，即（x-1）2+（y+1）2=2．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），∴y-x=$\frac{1}{2}$．∴直线l的普通方程是y-x=$\frac{1}{2}$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x2+y2-2x+2y=0得4t2+2$\sqrt{2}$t-3=0，
∴t1+t2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，t1t2=-$\frac{3}{4}$．
∴|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数方程的几何意义，属于基础题．
练习册系列答案
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