题目内容
19．
所截容器的容积V（单位：cm3）是关于截取的边长x（单位：cm）的函数．（1）随着x的变化，容积V是如何变化的？
（2）截取的小正方形的边长为多少时？容器的容积最大？最大容积是多少．
分析 （1）结合图形可写出V=x2•$\frac{6-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x3+3x2（0＜x＜6）；
（2）求导V′=-$\frac{3}{2}$x2+6x=-$\frac{3}{2}$x（x-4）；从而判断出当x=4时，V有最大值．
解答 解：（1）由题意知，
V=x2•$\frac{6-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x3+3x2（0＜x＜6）；
（2）∵V=-$\frac{1}{2}$x3+3x2（0＜x＜6）；
∴V′=-$\frac{3}{2}$x2+6x=-$\frac{3}{2}$x（x-4）；
∴当x=4时，V有最大值，
即截取的小正方形的边长为4cm时，
容器的容积最大，最大容积是16cm3．
点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．
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