Question

12．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点（4，-$\sqrt{10}$），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的离心率，得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出 $\overrightarrow{M{F_1}}$•$\overrightarrow{M{F_2}}$=0，即可证明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．

解答 解：（1）∵双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$a，
则c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，则a=b，
即双曲线是等轴双曲线，
∴设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
则由点（4，-$\sqrt{10}$）在双曲线上
知λ=4²-（-$\sqrt{10}$）²=6
∴双曲线方程为x²-y²=6
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上
则3²-m²=6∴m²=3
由双曲线x²-y²=6知F₁（2$\sqrt{3}$，0），F₂（-2$\sqrt{3}$，0）
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}=（2\sqrt{3}-3，-m）•（-2\sqrt{3}-3，-m）={m}^{2}-{（2\sqrt{3}）}^{2}+9=0$
∴$\overrightarrow{M{F_1}}⊥\overrightarrow{M{F_2}}$，
故点M在以F₁F₂为直径的圆上．
（Ⅲ）△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$×2|CM|=|CM|=2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．根据条件确定双曲线是等轴双曲线以及利用待定系数法是解决本题的关键．．