Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=1，S₂=-$\frac{3}{2}$，且S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为奇数}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），对n分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n-S_n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1（n≥3），
∴考虑偶数2n时，S_2n-S_2n-2=3×$（-\frac{1}{2}）^{2n-1}$，
∴S_2n=（S_2n-S_2n-2）+（S_2n-2-S_2n-4）+…+（S₄-S₂）+S₂
=S₂-3$[（\frac{1}{2}）^{2n-1}$+$（\frac{1}{2}）^{2n-3}$+…+$（\frac{1}{2}）^{3}]$
=-3×$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{4}^{n}}]}{1-\frac{1}{4}}$=-2$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$=-2+$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
同理可得：奇数项S_2n+1-S_2n-1=3×$（-\frac{1}{2}）^{2n}$=3×$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
∴S_2n+1=（S_2n+1-S_2n-1）+（S_2n-1-S_2n-3）+…+（S₃-S₁）+S₁
=1+3$[（\frac{1}{2}）^{2n}+$$（\frac{1}{2}）^{2n-2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{2}]$
=1+3×$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
∴a_2n+1=S_2n+1-S_2n=2-$（\frac{1}{2}）^{2n}$-$[-2+（\frac{1}{2}）^{2n-1}]$=4-3×$（\frac{1}{2}）^{2n}$．
a_2n=S_2n-S_2n-1=-2+$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$-$[2-（\frac{1}{2}）^{2n-2}]$=-4+3×$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$．
a₁=S₁=1．
综上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为奇数}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$．
故答案为：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4-3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为奇数}\\{-4+3×（\frac{1}{2}）^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．