Question

4．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为$\frac{2}{3}$，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和．

Answer 1

分析 （1）根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为C_n^m，由此即可算出第20行中从左到右的第4个数的大小；
（2）由（1）的结论，建立关于n的方程并化简整理，解之可得n=34；
（3）n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和即是1+2+2²+…+2ⁿ，根据等比数列的前n项和公式计算即可．

解答 解：（1）由题意，得第n行的从左到右第m+1个数为C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n）
∴第20行中从左到右的第4个数为C₂₀³=1140；
（2）由题意，得
∵第n行中从左到右第14与第15个数的比为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{C}_{n}^{13}}{{C}_{n}^{14}}$=$\frac{2}{3}$，可化简$\frac{14}{n-13}$=$\frac{2}{3}$，解得n=34，
（3）1+2+2²+…+2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1．

点评 本题给出三角形数阵，求它的指定项和在m斜列中包含的等式．着重考查了组合数的性质、运用组合数解决实际应用问题，属于中档题．