题目内容
2．已知α为第四象限角，$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，则$tan\frac{α}{2}$的值为（ ）| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $-\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式结合tan$\frac{α}{2}$的符号，求得tan$\frac{α}{2}$的值．
解答 解：∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，$\frac{α}{2}$是第二象限角，
∵$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴sinα-cosα=-$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinαcosα}$=-$\frac{7}{5}$，
∴sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{α}{2}}$，
∴$tan\frac{α}{2}$=3 （舍去），或，$tan\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{3}$，
故选：C．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角正切公式的应用，要求学生能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查．
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