Question

6．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为A₁B₁的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC₁D₁的距离为$\frac{1}{2}$；
②直线BC与平面ABC₁D₁所成角为45°；
③空间四边形ABCD₁在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为$\frac{1}{2}$；
④BE与CD₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
⑤二面角A-BD₁-C的大小为$\frac{5π}{6}$．
其中真命题是②③④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①由于A₁B₁∥平面ABC₁D₁，故B₁到平面ABC₁D₁的距离即点E到平面ABC₁D₁的距离，
连接B₁C交BC₁于F，则易得B₁F垂直于平面ABC₁D₁，而B₁F=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故点E到平面ABC₁D₁的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①错；
②易得B₁C垂直于平面ABC₁D₁，故∠CBC₁为直线BC与平面ABC₁D₁所成的角，且为45°，故②正确；
③易得空间四边形ABCD₁在正方体的面ABCD、面A₁B₁C₁D₁内的射影面积为1，在面BB₁C₁C内、面AA₁D₁D内的射影面积为$\frac{1}{2}$，在面ABB₁A₁内、面CC₁D₁D内的射影面积为$\frac{1}{2}$，故③正确；
④BE与CD₁所成的角，即为BA₁与BE所成角，即为∠A₁BE，A₁E=$\frac{1}{2}$，BE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BA₁=$\sqrt{2}$，cos∠A₁BE=$\frac{\frac{5}{4}+2-\frac{1}{4}}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sin∠A₁BE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，故④正确；
⑤在直角三角形BAD₁中过A作AH垂直于BD₁，连接CH，易知CH垂直于BD₁，故∠AHC是二面角A-BD₁-C的平面角，由余弦定理得，cos∠AHC=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-2}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，故∠AHC=$\frac{2π}{3}$，故⑤错．
故答案为：②③④

点评 本题考查命题的真假判断，考查空间线面位置关系，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．