Question

18．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a?α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的性质与判定定理，即可证明a⊥PO；
（2）连接AC，BD，AB₁，A₁B，证明BD₁⊥平面AB₁C，由AP⊥BD₁，平面AB₁C∩平面BCC₁B₁=B₁C，得出P在线段B₁C上．

解答 解：（1）证明：如图1所示，
∵PA⊥α，a?α，
∴PA⊥a，
又∵a⊥AO，且PA∩AO=A，
∴a⊥平面PAO，
PO?平面PAO；
∴a⊥PO；---（6分）

（2）证明：如图2所示，

连接AC，BD，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥BD₁；
连接AB₁，A₁B，
∵AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥BD₁，
又∵AB₁∩CB₁=B₁，
∴BD₁⊥平面AB₁C，
∵AP⊥BD₁，A∈平面AB₁C，
∴P∈平面AB₁C；
∵P∈平面BCC₁B₁，
平面AB₁C∩平面BCC₁B₁=B₁C，
∴P在线段B₁C上．----（12分）

点评 本题考查了空间中垂直关系的应用问题，考查了线线、线面、面面垂直关系的转化问题，是综合性题目．