Question

3．已知函数f（x）=|3x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$}，求实数a的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令g（x）=f（x）+f（x+5），若不等式g（x）≥|m-1|对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式的解和方程的根的关系可知：f（-$\frac{2}{3}$）=3，f（$\frac{4}{3}$）=3，联立求解即可；
（Ⅱ）g（x）≥|m-1|对一切实数x恒成立，只需求出g（x）的最小值，g（x）=f（x）+f（x+5）=|3x-1|+|3x+14|，利用绝对值不等式的性质可得|3x-1|+|3x+14|≥|3x-1-3x-14|=15，求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：
f（-$\frac{2}{3}$）=3，f（$\frac{4}{3}$）=3，
∴3=|a+2|，3=|4-a|，
∴a=1．
（Ⅱ）由a=1得，
f（x）=|3x-1|，f（x+5）=|3x+14|，
∴g（x）=f（x）+f（x+5）=|3x-1|+|3x+14|，
g（x）≥|m-1|对一切实数x恒成立，
∵|3x-1|+|3x+14|≥|3x-1-3x-14|=15，
∴15≥|m-1|，
∴-14≤m≤16．

点评 考查了不等式解集与方程的关系，恒成立问题的转换和绝对值定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．