Question

12．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，向量$\overrightarrow{p}$=（sinA+sinC，sinB），向量$\overrightarrow{q}$=（a-c，b-a），且满足$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$．
（1）求△ABC的内角C的值；
（2）若c=2，2sin2A+sin（2B+C）=sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二向量垂直可推断出$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，进而求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得c．
（2）化简可得2a=b，解得a，b的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$．得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，
得（sinA+sinC）（a-c）+sinB（b-a）=0，
根据正弦定理得到：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴（a+c）（a-c）+b（b-a）=0，
即a²-c²+b²=ab，
根据余弦定理，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$
∵0＜C＜π
∴C=$\frac{π}{3}$，
（2）∵2sin2A+sin（2B+C）=sinC，
∴2sin2A+sin[π-（A-B）]=sin（A+B），
∴2sinA=sinB，
∴2a=b，
又∵a²-c²+b²=ab，c=2，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，平面向量的性质．考查了学生综合分析运用所学知识的能力．