Question

18．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，G、H分别为AD、BC中点．证明：
（1）AB⊥平面VAD；
（2）平面VGH⊥平面VBC．

Answer 1

分析 （1）利用平面与平面垂直的性质，即可得出结论．
（2）证明BC⊥平面VGH，即可证明平面VGH⊥平面VBC．

解答 证明：（1）∵四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面VAD（平面与平面垂直的性质）；
（2）∵侧面VAD是正三角形，G为AD的中点，
∴VG⊥AD，
∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD=AD，
∴VG⊥底面ABCD，
∴VG⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，G、H分别为AD、BC中点，
∴BC⊥GH，
∵VG∩GH=G，
∴BC⊥平面VGH，
∵BC?平面VBC，
∴平面VGH⊥平面VBC．

点评 本题考查线面垂直，平面与平面垂直，正确运用平面与平面垂直的性质与判定是关键．