Question

10．已知函数f（x）=2x³-ax²+6（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=9时，求方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）的极值，求出方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的个数即可．

解答 解：（1）令$f′（x）=6x（{x-\frac{a}{3}}）=0$得x₁=0，${x_2}=\frac{a}{3}$，
当a=0时，f′（x）=6x²≥0，则f（x）在R上递增．
当a＞0时，x₁＜x₂，由f′（x）＜0得$0＜x＜\frac{a}{3}$；由f′（x）＞0得x＜0或$x＞\frac{a}{3}$．
则f（x）在$（{0，\frac{a}{3}}）$上递减，在（-∞，0），$（{\frac{a}{3}，+∞}）$上递增．
当a＜0时，x₁＞x₂，同理可得，f（x）在$（{\frac{a}{3}，0}）$上递减，在$（{-∞，\frac{a}{3}}）$，（0，+∞）上递增．
（2）当a=9时，f′（x）=6x（x-3），
当0＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上递减．
当x＜0或x＞3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0），（3，+∞）上递增，
∴f（x）在x=0处取得极大值f（0）=6，在x=3处取得极小值f（3）=-21，
∵$-21＜\sqrt{2}＜6$，
∴方程$f（x）=\sqrt{2}$的解的个数为3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数的零点问题，是一道中档题．