Question

20．等差数列{a_n}的前n项和为${S_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式，
（Ⅱ）化简数列{b_n}，再根据裂项求和即可求出

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+3n}}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}+3（n-1）}}{2}=n+1$，
数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}=\frac{1}{（2n）（2n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）$，
${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}）=\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了学生的运算能力，属于中档题