Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，S₃=12．
（ I） 求数列{a_n}的通项公式；
（ II）若a₃，a_k+1，S_k成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （ I） 设出公差，利用已知条件求出公差，然后求解数列{a_n}的通项公式；
（ II）利用（1）求出数列的S_n，利用a₃，a_k+1，S_k成等比数列，列出方程，求解正整数k的值．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题意知a₂+a₃=10，即2a₁+3d=10，
由a₁=2，解得d=2．
所以a_n=2+2（n-1）=2n，即a_n=2n，n∈N^*．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{（2+2n）n}{2}={n^2}+n$，所以${S_k}={k^2}+k$．
又a₃=2×3=6，a_k+1=2（k+1），
由已知可得$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$，即（2k+2）²=6（k²+k），
整理得 k²-k-2=0，k∈N^*．
解得k=-1（舍去）或k=2．
故k=2．…（13分）

点评 本题考查等差数列的通项公式的应用，数列求和以及等比数列的应用，考查计算能力．