题目内容
6．在正项数列{an}、{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列．（1）证明：{${\sqrt{b_n}}$}成等差数列，并求出an，bn；
（2）设cn=$\frac{1}{{{b_n}-1}}$，求数列{cn}的前n和Sn．
分析 （1）由题意可得：2bn=an+an+1，$a_{n+1}^2={b_n}•{b_{n+1}}$，由bn＞0，an＞0，$⇒2{（\sqrt{b_n}）^2}=\sqrt{{b_{n-1}}{b_n}}+\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}（n≥2）$，可得$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，即可证明，进而得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 （1）证明：由题意可得：2bn=an+an+1，$a_{n+1}^2={b_n}•{b_{n+1}}$，
∵a1=2，b1=4，∴a2=6，b2=9，
bn＞0，an＞0，an，bn，an+1成等差数列$⇒2{（\sqrt{b_n}）^2}=\sqrt{{b_{n-1}}{b_n}}+\sqrt{{b_n}{b_{n+1}}}（n≥2）$，
∴$2\sqrt{b_n}=\sqrt{{b_{n-1}}}+\sqrt{{b_{n+1}}}$，
∴$\left\{{\sqrt{b_n}}\right\}$成等差数列，∴$\sqrt{b_n}=\sqrt{b_1}+（n-1）（\sqrt{b_2}-\sqrt{b_1}）$$⇒{b_n}={（n+1）^2}$，
an=$\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=n（n+1）．
（2）解：${c_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}-1}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
已知集合A={x∈Z|$\frac{x+1}{2-x}$≥0），B={x∈Z|-2＜x≤3），则图中阴影部分表示的集合是（ ）| A． | {1，2，3） | B． | {2，3} | C． | {1，3} | D． | {0，1，2，3} |
某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为97．
某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，如表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）．| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| A户型 | 0.7 | 1.3 | 1.1 | 1.4 | 1.1 | 0.9 | 0.8 | 0.8 | 1.3 | 0.9 |
| B户型 | 1.2 | 1.6 | 2.3 | 1.8 | 1.4 | 2.1 | 1.4 | 1.2 | 1.7 | 1.3 |
（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）．