Question

16．已知π＜α＜$\frac{3π}{2}$且sin（$\frac{3π}{2}$+α）=$\frac{4}{5}$，则tan$\frac{α}{2}$等于（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 利用诱导公式，二倍角公式化简已知可得cos²$\frac{α}{2}$，sin²$\frac{α}{2}$的值，根据范围$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，可求cos$\frac{α}{2}$，sin$\frac{α}{2}$的值，利用同角三角函数基本关系式即可得解tan$\frac{α}{2}$的值．

解答 解：∵sin（$\frac{3π}{2}$+α）=-cosα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\frac{4}{5}$=2cos²$\frac{α}{2}$-1，cosα=-$\frac{4}{5}$=1-2sin²$\frac{α}{2}$，
∴解得：cos²$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{10}$，sin²$\frac{α}{2}$=$\frac{9}{10}$，
∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，可得：$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sin$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-3．
故选：B．

点评 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．