Question

11．棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）

纤维长度	（0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500]
甲地（根数）	3	4	4	5	4
乙地（根数）	1	1	2	10	6

（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．

	甲地	乙地	总计
长纤维	9	16	25
短纤维	11	4	15
总计	20	20	40

附：（1）${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
（2）临界值表；

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检
测，在这8根纤维中，记乙地“短
纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用k²的计算公式即可得出．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为$\frac{15}{40}×8=3$，X的可能取值为：0，1，2，3，利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{11}^{3-k}{∁}_{4}^{k}}{{∁}_{15}^{3}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下2×2列联表：

	甲地	乙地	总计
长纤维	9	16	25
短纤维	11	4	15
总计	20	20	40

根据2×2列联表中的数据，可得${K^2}=\frac{{40{{（9×4-16×11）}^2}}}{25×15×20×20}≈5.227＞5.024$
所以，在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为$\frac{15}{40}×8=3$，X的可能取值为：0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{{C_{11}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{33}{91}$，$P（X=1）=\frac{{C_{11}^2C_4^1}}{{C_{15}^3}}=\frac{44}{91}$，$P（X=2）=\frac{{C_{11}^1C_4^2}}{{C_{15}^3}}=\frac{66}{455}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{15}^3}}=\frac{4}{455}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{65}{455}$	$\frac{4}{455}$

∴$E（X）=0×\frac{33}{91}+1×\frac{44}{91}+2×\frac{65}{455}+3×\frac{4}{455}=\frac{364}{455}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验原理、超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．