Question

已知函数f(x)＝log_a(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解析 　(1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，

∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)∪.

(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

由题设f(1)＝1，即log_a(3－a)＝1，

∴a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．