Question

3．给出下列命题，其中正确命题的序号是②③⑤
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②函数$y=sin（\frac{3}{2}π+x）$是偶函数；
③直线$x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一条对称轴；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
⑤函数$y=2sin（\frac{π}{3}-x）-cos（\frac{π}{6}+x）（x∈R）$的最小值等于-1；
⑥函数$y=|{tan（2x+\frac{π}{3}）}|$的周期为π．

Answer 1

分析 根据二倍角公式可知-$\frac{1}{2}≤$sinαcosα≤$\frac{1}{2}$，故①错误；根据诱导公式，可知sin（$\frac{3}{2}π$+x）=-cosx，故②正确；x=$\frac{π}{8}$时，y=sin$\frac{3}{2}π$=-1，故③正确；α=390°，β=60°时，sinα＜sinβ，故④错误；利用诱导公式化简，y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）=cos（$\frac{π}{6}$+x），故⑤正确；函数周期为$\frac{π}{2}$，故⑥错误．

解答 解：对于①：∵sinαcosα=$\frac{1}{2}×2sinαcosα=\frac{1}{2}sin2α$，∴$-\frac{1}{2}≤sinαcosα≤\frac{1}{2}$，故①错误；
对于②：∵y=sin（$\frac{3}{2}π$+x）=sin[$π+（\frac{π}{2}+x）$]=-sin（$\frac{π}{2}+x$）=-cosx，且-cos（-x）=-cosx，∴$y=sin（\frac{3}{2}π+x）$是偶函数，故②正确；
对于③：当x=$\frac{π}{8}$时，y=sin$\frac{3}{2}π$=-1，所以直线$x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一条对称轴，故③正确；
对于④：举反例，例如α=390°，β=60°时，sin390°=$\frac{1}{2}$，sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinα＜sinβ，故④错误；
对于⑤：∵y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}+x）$=2sin[$\frac{π}{2}-（x+\frac{π}{6}）$]-cos（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{π}{6}$）=cos（x+$\frac{π}{6}$），∴y_min=-1，故⑤正确；
对于⑥：由图象可知，y=|tan（2x+$\frac{π}{3}$）|与y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的周期相同，T=$\frac{π}{2}$，故⑥错误．
故答案为：②③⑤

点评 本题通过命题的真假判断考查了诱导公式，三角函数的图象和性质以及三角恒等变换，属于中档题．