Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和单调递减区间；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设角C是△ABC的最大角，且c=

14

，f（C）=

3

2

．若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（sinB，-2）垂直，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的最大值，由正弦函数的单调性确定出f（x）的递减区间即可；
（2）由f（C）=

3

2

，求出C的度数，利用余弦定理列出关系式，由两向量垂直，利用两向量垂直满足的条件列出关系式，再利用正弦定理化简得到b=2a，代入得出的关系式中计算即可确定a与b的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

=

1

2

sin2x-

3

2

（1+cos2x）+

3

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
∵-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴f（x）_max=1+

3

2

；
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得：

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间为[

5π

12

+kπ，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由f（C）=

3

2

，得到sin（2C-

π

3

）+

3

2

=

3

2

，即sin（2C-

π

3

）=0，
∴2C-

π

3

=kπ，k∈Z，
∵角C是△ABC的最大角，
∴2C-

π

3

=π，即C=

2π

3

，
由余弦定理得：14=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab①，
∵向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（sinB，-2）垂直
∴

m

•

n

=0，即sinB-2sinA=0，
整理得：sinB=2sinA，
利用正弦定理化简得：b=2a②，
②代入①得：14=a²+4a²+2a²=7a²，
解得：a=

2

（负值舍去），b=2

2

，
则a=

2

，b=2

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．