题目内容
幂函数f（x）的图象过点（
，3），若函数g（x）=f（x）+1在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是 ．
| 3 |
考点：幂函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：利用幂函数的定义可得f（x）=x2，函数g（x）=f（x）+1=x2+1．再利用二次函数的单调性与值域即可得出．
解答：
解：设幂函数f（x）=xα（α为常数）．
∵幂函数f（x）的图象过点（
，3），
∴3=(
)α，解得α=2．
∴f（x）=x2．
∴函数g（x）=f（x）+1=x2+1．
∴g（x）在（-∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增．
而f（0）=1，f（2）=f（-2）=5．
又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]，
∴-2≤m≤0．
∴实数m的取值范围是-2≤m≤0．
故答案为：[-2，0]．
∵幂函数f（x）的图象过点（
| 3 |
∴3=(
| 3 |
∴f（x）=x2．
∴函数g（x）=f（x）+1=x2+1．
∴g（x）在（-∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增．
而f（0）=1，f（2）=f（-2）=5．
又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]，
∴-2≤m≤0．
∴实数m的取值范围是-2≤m≤0．
故答案为：[-2，0]．
点评：本题考查了幂函数的定义、二次函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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