Question

13．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e^x-1的图象不在函数g（x）=x²-ax的下方，则实数a的取值范围是[2-e，+∞）．

Answer 1

分析 由已知得f（x）-g（x）=e^x-x²+ax-1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而$a≥\frac{{x}^{2}+1-{e}^{x}}{x}$=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）_max，${h}^{'}（x）=\frac{x（2x-{e}^{x}）-（{x}^{2}+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=（$\frac{1-x}{{x}^{2}}$）（e^x-x-1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=e^x-1的图象不在函数g（x）=x²-ax的下方，
∴f（x）-g（x）=e^x-x²+ax-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
∴e^x-x²+ax-1≥0，
∴$a≥\frac{{x}^{2}+1-{e}^{x}}{x}$=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，
∴a≥h（x）_max，
${h}^{'}（x）=\frac{x（2x-{e}^{x}）-（{x}^{2}+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$=（$\frac{1-x}{{x}^{2}}$）（e^x-x-1），
令t（x）=e^x-x-1，x∈（0，1），
t′（x）=e^x-1＞0对x∈（0，1）恒成立，
∴t（x）≥t（0）=0，
∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，
∴h（x）_max=h（1）=$\frac{{1}^{2}+1-e}{1}=2-e$，
∴实数a的取值范围是[2-e，+∞）．
故答案为：[2-e，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、换元法的合理运用．