Question

正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E₁F₁长的范围是

 

．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：取AC中点为G，连接EG、FG，根据四面体绕AB旋转时，GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，
当CD与平面α垂直时射影E₁F₁的长取得最小，当CD与平面α平行时，E₁F₁取得最大，分别求出最大、最小值，可得答案．

解答： 解：如图，取AC中点为G，连接EG、FG，
∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴GF∥AB，GE∥CD，在正四面体中，AB⊥CD，∴GE⊥GF，
∴EF²=GE²+GF²=

2

2

，当四面体绕AB旋转时，
∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，
当CD与平面α垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面α上的射影E₁F₁的长取得最小值

1

2

；
当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长最长为

1

2

，E₁F₁取得最大值

2

2

，
∴射影E₁F₁长的取值范围是[

1

2

，

2

2

]，
故答案为：[

1

2

，

2

2

]．

点评：本题借助考查线段在平面内的射影问题，考查空间直线与直线位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，