Question

设g′（x）是函数g（x）的导函数，且f（x）=g′（x）．现给出以下四个命题：
①若f（x）是奇函数，则g（x）必是偶函数；    
②若f（x）是偶函数，则g（x）必是奇函数；
③若f（x）是周期函数，则g（x）必是周期函数；
④若f（x）是单调函数，则g（x）必是单调函数．
其中正确的命题是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：①根据函数奇偶性之间的关系进行判断结合积分的意义即可得到结论，
②举个反例即可证明结论错误，
③根据函数周期的定义，举反例即可得到结论，
④根据函数单调性的性质，举反例即可．

解答： 解：①当f（x）是奇函数时，则f（-x）=-f（x），
即∫0dx=∫[f（-x）+f（x）]dx=∫f（x）dx+∫f（-x）dx═∫f（x）dx-∫f（-x）d（-x）=g（x）-g（-x），
即g（-x）=g（x），∴g（x）数是偶函数．∴①准确．
②当f（x）=0是偶函数，g（x）=3不是奇函数，∴②错误；
③若f（x）=1是周期函数，则g（x）=x不是周期函数，∴③错误；
④若f（x）=2x，则g（x）=x²，满足f（x）=g′（x）是单调增函数，但g（x）=x²，不单调，∴④错误．
故答案为：①

点评：本题主要考查函数的奇偶性，周期性，单调性与函数导数之间的关系，．