Question

已知圆M经过A（1，-2），B（-1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．
（1）求圆M的方程；
（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；
（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．

解答： 解：（1）设圆M的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0
根据圆M过A（1，-2），B（-1，0）得：1+4+D-2E+F=0①
1-D+F=0      ②----------（2分）
令x=0，得y²+Ey+F=0，所以y₁+y₂=-E
令y=0，得x²+Dx+F=0，所以x₁+x₂=-D
所以-D-E③----------（4分）
由①②③得D=-2，E=0，F=-3，
所以圆M的方程x²+y²-2x-3=0----------（6分）
（2）圆M的标准方程为：（x-1）²+y²=4所以圆心M（1，0），半径r=2
设直线l的方程为：y-3=k（x-4），即kx-y+3-4k=0----------（8分）
直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离d=

3

所以

|k+3-4k|

1+k2

=

3

----------（10分）
解得：k=

3± 5

2

，
所以直线l的方程为y-3=

3± 5

2

(x-4)----------（12分）

点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相交弦长公式的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．