Question

20．函数f（x）=x²+ax+3在区间[-1，1]上的最小值为-4．求实数a的值．

Answer 1

分析 函数f（x）=x²+ax+3在区间[-1，1]上有最小值-4，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，利用最小值为4建立方程，解出相应的a的值．

解答 解：∵f（x）=x²+ax+3=${（x+\frac{a}{2}）}^{2}$+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
（1）当-$\frac{a}{2}$＜-1时，即a＞2时，f（x）_min=f（-1）=4-a=-4，解得：a=8；
（2）当-1≤-$\frac{a}{2}$≤1时，即-2≤a≤2时，f（x）_min=f（-$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-4，
解得a=±2$\sqrt{7}$（舍去）；
（3）当-$\frac{a}{2}$＞1时，即a＜-2时，f（x）_min=f（1）=4+a=-4，解得：a=-8，
综上，a=±8．

点评 考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属中档题．