Question

11．已知函数$f（x）=x+\frac{4}{x}$，$g（x）={log_a}（{{x^2}-2x+3}）$，其中a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[2，+∞）是增函数；
（Ⅱ）若对于任意的x₀∈[2，4]，总存在x₁∈[0，3]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设2≤x₁＜x₂，计算f（x₁）-f（x₂），判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，得出结论，
（Ⅱ）问题等价于f（x）的值域为g（x）的值域的子集，利用导数可分别求得两函数的值域，根据集合包含关系可得不等式组，解出即可

解答 （Ⅰ）证明：设2≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）=x₁-x₂+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）设t（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴t（x）在[0，1]上单调递增，（1，3]上单调递减，
∴t（x）∈[2，6]，
当a＞1时，g（x）的值域为[log_a2，log_a6]，
当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log_a6，log_a2]
由（Ⅰ）知f（x）∈[4，5]，
∵任意的x₀∈[2，4]，总存在x₁∈[0，3]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}2≤4}\\{lo{g}_{a}6≥5}\end{array}\right.$，解得${2}^{\frac{1}{4}}$≤a≤${6}^{\frac{1}{5}}$，
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}6≤4}\\{lo{g}_{a}2≥5}\end{array}\right.$，此时无解，
综上所述a的取值范围为$[{2^{\frac{1}{4}}}，{6^{\frac{1}{5}}}]$

点评 本题考查了函数单调性的定义证明，考查分类讨论思想转化思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．