Question

在平面直角坐标系xOy中，P_n（n，n²）（n∈N₊）是抛物线y=x²上的点，△OP_nP_n+1的面积为S_n．
（1）求S_n；
（2）化简；
（3）试证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意利用直线所过的两个点写出直线的方程，要求三角形的面积，有面积公式，应先求出线段P_nP_n+1的长度，再有点到直线的距离公式求出距离，利用公式求出即可；
（2）有（1）可知S_n=的式子，有式子的特点选择裂项相消求和即可；
（3）有S_n，应该先求出S₁，S₂…S，在利用累加法求证结论即可．
解答：（1）依题意，P_n+1（n+1，（n+1）²），直线P_nP_n+1的方程为，
即（2n+1）x-y-n（n+1）=0，=，
点O到直线P_nP_n+1的距离，
所以．
（2），
，
（3）因为，
从而，，，
，
以上各式累加得．
点评：此题考查了求直线的方程的两点式点到直线的距离公式，三角形的面积公式及数列的裂项相消法求和，还考查了数列的累加法．