Question

6．已知数列{a_n}满足：a₁=1且a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，设b_n=n（a_n+1），则数列{b_n}的前n项和S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式可得a_n+1，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=n（a_n+1）=n•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
故答案为：（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．