Question

15．已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象（不要求写作法）；
（Ⅱ）若不等式9a²+1≥|a|f（x）对a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x），再由分段函数的画法，可得图象；
（Ⅱ）由题意可得f（x）≤9|a|+$\frac{1}{|a|}$的最小值，运用基本不等式求得右边函数的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-1-2x，x≤-2}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）不等式9a²+1≥|a|f（x）对a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即有f（x）≤9|a|+$\frac{1}{|a|}$的最小值，
由9|a|+$\frac{1}{|a|}$≥2$\sqrt{9|a|•\frac{1}{|a|}}$=6，当且仅当|a|=$\frac{1}{3}$取得最小值6．
即有|x-1|+|x+2|≤6，
即为$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≤6}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3≤6}\\{-2＜x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-2x≤6}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，
即为1≤x≤$\frac{5}{2}$或-2＜x＜-1或-$\frac{7}{2}$≤x≤-2，
解得-$\frac{7}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$．
则实数x的取值范围为[-$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查绝对值函数的图象的画法，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，运用基本不等式，同时考查绝对值不等式的解法，属于中档题．