Question

6．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）b是a与c的等比中项，可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，即可得出B的取值范围．
（2）sinA+sinC=sinA+$sin（\frac{2π}{3}-C）$=$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$，由于$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可得$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）$≤1．即可得出．

解答 解：（1）∵b是a与c的等比中项，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时取等号，$\frac{1}{2}$≤cosB＜1，
又0＜B＜π，∴B的取值范围是$（0，\frac{π}{3}]$．
（2）sinA+sinC=sinA+$sin（\frac{2π}{3}-A）$=sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）$≤1．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$$sin（A+\frac{π}{6}）$$≤\sqrt{3}$．
故sinA+sinC的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、和差公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．