Question

7．已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值的含义可得分段函数，再由f（x）为增函数，可得a≥-$\frac{2-a}{2}$且a≤$\frac{2+a}{2}$，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即为-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，即x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，求得函数的最值，即可得到a的范围；
（3）讨论当0≤a≤2时，当a∈（2，4]时，运用函数的单调性，结合基本不等式即可得到t的范围．

解答 解：（1）$f（x）=x|{x-a}|+2x=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（2-a）x，x≥a\\-{x^2}+（2+a）x，x＜a\end{array}\right.$，
由f（x）在R上是增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a≥-\frac{2-a}{2}\\ a≤\frac{2+a}{2}\end{array}\right.$即-2≤a≤2，
则a范围为-2≤a≤2；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即$|{x-a}|＜\frac{1}{x}$，$-\frac{1}{x}＜x-a＜\frac{1}{x}$，
即为$x-\frac{1}{x}＜a＜x+\frac{1}{x}$，
故只要$x-\frac{1}{x}＜a$且$a＜x+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立即可，
即有$\left\{\begin{array}{l}a＞{（x-\frac{1}{x}）_{max}}\\ a＜{（x+\frac{1}{x}）_{min}}\end{array}\right.⇒\frac{3}{2}＜a＜2$；
（3）当0≤a≤2时，由（1）知f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；
当a∈（2，4]时，由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（2-a）x，x≥a\\-{x^2}+（2+a）x，x＜a\end{array}\right.$，
得f（x）在$（{-∞，\frac{a+2}{2}}]$上单调递增，
在$[{\frac{a+2}{2}，a}）$上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
且$f（\frac{a+2}{2}）=\frac{{{{（a+2）}^2}}}{4}$，f（a）=2a，
由方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，可知$2a＜2at＜\frac{{{{（a+2）}^2}}}{4}$，
∴$1＜t＜\frac{{{{（a+2）}^2}}}{8a}⇒1＜t＜\frac{1}{8}（{a+\frac{4}{a}+4}）$，即有$\frac{1}{8}$${（{a+\frac{4}{a}+4}）_{max}}=\frac{9}{8}$，
∴实数t的取值范围为$（{1，\frac{9}{8}}）$； 
综上所述，实数t的取值范围为$（{1，\frac{9}{8}}）$．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性和运用，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．