Question

5．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左准线为l，左、右焦点分别为F′，F，点A，B在椭圆上，AF′∥BF，∠AF′F=60°，若AF′=2BF，则椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作出椭圆，然后分别过A，B作左准线、右准线的垂线为AC，BD，再分别过点F′，B作AC，x轴的垂线为F′E′，BE，可设BF=h，这样根据椭圆的第二定义及已知条件，便可建立关于h的方程，解出h，这时便可得出椭圆的离心率．

解答 解：如图，分别过A，B作左准线的垂线AC，垂足为C，右准线的垂线BD，垂足为D，作F′E′⊥AC，垂足为E′，过B作x轴的垂线，垂足为E，设BF=h，则AF′=2h；
又∠AF′E′=∠FBE=30°；
∴$AE′=h，FE=\frac{1}{2}h$；
∴$AC=\frac{{a}^{2}}{c}-c+h，BD=\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{2}h$；
∴根据椭圆的第二定义，$\frac{AF′}{AC}=\frac{BF}{BD}=e$，e为椭圆离心率；
即$\frac{2h}{\frac{{a}^{2}}{c}-c+h}=\frac{h}{\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{2}h}$；
∴$h=\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）$；
∴$e=\frac{\frac{1}{2}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）}{\frac{{a}^{2}}{c}-c-\frac{1}{4}（\frac{{a}^{2}}{c}-c）}=\frac{2}{3}$；
即椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，椭圆的准线方程，以及椭圆的第二定义，根据椭圆的第二定义求椭圆的离心率．