Question

10．已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线C为二次函数y=（x-1）²+2的图象，直线l与曲线C交于不同两点A，B
（Ⅰ）当b=7时，求弦AB的长；
（Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=7时，直线y=x+7代入y=（x-1）²+2，求出A，B的坐标，即可求弦AB的长；
（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x-1）²+2，利用韦达定理，即可求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）证明：曲线C上的任一点M到点（1，$\frac{9}{4}$）与到直线y=$\frac{7}{4}$的距离相等，即可确定曲线C为抛物线．

解答 解：（I）把直线y=x+7代入y=（x-1）²+2，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=11}\end{array}}\right.$，
即 A（-1，6），B（4，11），所以|AB|=5$\sqrt{2}$；…（4分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
把y=x+b代入y=（x-1）²+2，得x²-3x+3-b=0…（6分）
由韦达定理x₁+x₂=3，△=3²-4（3-b）＞0，b＞$\frac{3}{4}$
所以$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}+2b}}{2}=\frac{3}{2}+b＞\frac{9}{4}$，…（8分）
所以线段AB中点的轨迹方程$x=\frac{3}{2}（y＞\frac{9}{4}）$；…（10分）
（III）可以证明曲线C上的任一点M到点（1，$\frac{9}{4}$）与到直线y=$\frac{7}{4}$的距离相等．
或设曲线C上的任一点M（x，y）到点（1，m）的距离等于到直线y=n的距离，…（12分）
即$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y-m）}^2}}=|{y-n}|$，又y=（x-1）²+2，
整理得（1-2m）y+m²-2=-2ny+n²，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{1-2m=-2n}\\{{m^2}-2={n^2}}\end{array}}\right.$，解得m=$\frac{9}{4}$，n=$\frac{7}{4}$； …（14分）
所以曲线C上的任一点M到点（1，$\frac{9}{4}$）与到直线y=$\frac{7}{4}$的距离相等．
所以曲线C是抛物线．…（16分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．