Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点，点M（

p

2

，p）．
（1）设过F且斜率为1的直线L交抛物线C于A、B两点，且|AB|=8，求抛物线的方程．
（2）过点M（

p

2

，p）作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线C于除M之外的D、E两点．求证：直线DE的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1））设过F且斜率为1的直线L的方程为y=x-

p

2

，与抛物线方程联立可得根与系数关系，再利用弦长公式|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

即可得出p．
（2）不妨设D(

y 2 3

2p

，y3)，E(

y 2 4

2p

，y4)，由k_MD=-k_ME，利用斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（1））设过F且斜率为1的直线L的方程为y=x-

p

2

，
联立

y=x- p 2 y2=2px

，化为x2-3px+

p2

4

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

．
∴|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(9p2-p2)

=8，解得p=2．
故抛物线的方程为y²=4x．
（2）不妨设D(

y 2 3

2p

，y3)，E(

y 2 4

2p

，y4)，
由k_MD=-k_ME可得：

p-y3

p 2 - y 2 3 2p

=-

p-y4

p 2 - y 2 4 2p

，化为y₃+y₄=-2p．
∴k_DE=

y4-y3

y 2 4 2p - y 2 3 2p

=-1．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式、斜率计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．