Question

在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）直线l的参数方程为

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ²=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程即可得出．
（II）把直线l的参数方程为

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）代入圆的方程可得：t²+4（sinα+cosα）t+4=0．由于曲线C与直线相交于不同的两点M、N，可得△=16（sinα+cosα）²-16＞0，可得α∈(0，

π

2

)．
利用根与系数的关系t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．及|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4|sinα+cosα|=4

2

sin(α+

π

4

)，即可得出．

解答： 解：（I）直线l的参数方程为

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）．
曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ²=4ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（II）把直线l的参数方程为

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t为参数）代入圆的方程可得：t²+4（sinα+cosα）t+4=0．
∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，
∴△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），
∴α∈(0，

π

2

)．
又t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4|sinα+cosα|=4

2

sin(α+

π

4

)，
∵α∈(0，

π

2

)，∴(α+

π

4

)∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴sin(α+

π

4

)∈(

2

2

，1]．
∴|PM|+|PN|的取值范围是(4，4

2

]．

点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．